Question

15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=AE=2，CF=3．
（I）求证：EF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DF-E的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由勾股定理推导出EF⊥BE，EF⊥DE，由此能证明EF⊥平面BDE．
（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-DF-E的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=AE=2，CF=3，
∴AC=2，EF=$\sqrt{A{C}^{2}+（CF-AE）^{2}}$=$\sqrt{5}$，DF=BF=$\sqrt{C{F}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，DE=BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴EF²+BE²=BF²，EF²+DE²=DF²，
∴EF⊥BE，EF⊥DE，
又BE∩DE=E，∴EF⊥平面BDE．
解：（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，-$\sqrt{3}$，0），F（-1，0，3），E（1，0，2），
$\overrightarrow{DF}$=（-1，$\sqrt{3}$，3），$\overrightarrow{DB}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DE}$=（1，$\sqrt{3}$，2），
设平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=-x+\sqrt{3}y+3z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，0，1），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=a+\sqrt{3}b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=-a+\sqrt{3}b+3c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{5}{\sqrt{3}}$，2），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5}{\sqrt{10}•\sqrt{\frac{40}{3}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴二面角B-DF-E的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

点评 本题考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．