Question

15．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）≥$\frac{1}{2}$，则f（x）＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集为（　　）

• A． {x|x＜1}
• B． {x|x＞1}
• C． {x|x＜-1}
• D． {x|x＞-1}

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=f（x）-$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$，然后利用导数研究函数的单调性和最值即可得到结论．

解答 解：设g（x）=f（x）-$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$，
则g'（x）=f'（x）-$\frac{1}{2}$，
∵f（x）的导函数f′（x）≥$\frac{1}{2}$，
∴g'（x））=f'（x）-$\frac{1}{2}≥$0，
即函数g（x）在定义域上单调递增，
∵g（1）=f（1）-$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2}$=0，
∴当x＜1时，g（x）＜g（1）=0，
∴不等式f（x）＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集为（-∞，1），
故选：A．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．