Question

设函数f（x）=x³-ax²+3x+5（a＞0）．
（1）已知f（x）在R上是单调函数，求a的取值范围；
（2）若a=2，且当x∈[1，2]时，f（x）≤m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-ax+3，判别式△=a²-36=（a-6）（a+6）．
∵f（x）在R上是单调函数，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0
∵f′（x）=3x²-ax+3开口向上，∴f′（x）≥0
∴△≤0，解得-6≤a≤6
又∵a＞0，∴0＜a≤6，
即0＜a≤6时，f（x）在R上单调递增；
（2）a=2，f′（x）=3x²-2x+3＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增
∴f（x）在[1，2]上单调递增
∴f（x）_max=f（2）=15
∵当x∈[1，2]时，f（x）≤m恒成立，
∴m≥15
∴实数m的取值范围是[15，+∞）．
分析：（1）f′（x）=3x²-ax+3，f（x）在R上是单调函数，则f′（x）≥0或f′（x）≤0，从而可得当0＜a≤6时，判别式△=a²-36=（a-6）（a+6）≤0对x∈R恒成立；
（2）a=2，f（x）在[1，2]上单调递增，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．