【题目】用表示一个小于或等于
的最大整数.如:
,
,
. 已知实数列
、
、
对于所有非负整数
满足
,其中
是任意一个非零实数.
(Ⅰ)若,写出
、
、
;
(Ⅱ)若,求数列
的最小值;
(Ⅲ)证明:存在非负整数,使得当
时,
.
【答案】(Ⅰ),
,
;(Ⅱ)最小值为
;(Ⅲ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)由,代入可得
,同理可得:
、
;
(Ⅱ)由,可得
,
,设
,
,可得
,因此
,
. 又因
,可得
,
. 假设
,都有
成立,可得:
,
,利用累加求和方法可得
,
,则当
时,
,得出矛盾,
,从而可得出
的最小值;
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知,存在
,
,可得
,
,由此得出
,
,成立.;若
,
,推导出数列
单调不减.由
是负整数,可知存在整数
和负整数
,使得当
时,
.所以,当
时,
,转化为
,令
,即
,
.经过讨论:当
时,得证.当
时,
,
,
,
,当
时,
,则
,则
有界,进而证明结论.
(Ⅰ),
,
同理可得:,
;
(Ⅱ)因,则
,所以
,
设,
,则
,所以
,
.
又因,则
,则
,
.
假设,都有
成立,则
,
则,
,即
,
,
则,
,则当
时,
,
这与假设矛盾,所以,
不成立,
即存在,
,从而
的最小值为
;
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知,存在
,
,
所以,所以
,所以
,
,成立.
当时,若存在
,
,则
,
,得证;
若,
,则
,则
,
则,
,所以数列
单调不减.
由于是负整数,所以存在整数m和负整数c,使得当
时,
.
所以,当时,
,则
,令
,
即,
.
当时,则
,
,则
,
,得证.
当时,
,
,
,
,
因当时,
,则
,则
有界,
所以,所以负整数
.
,则
令,满足当
时,
.
综上,存在非负整数,使得当
时,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某景区平面图如图1所示,为边界上的点.已知边界
是一段抛物线,其余边界均为线段,且
,抛物线顶点
到
的距离
.以
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,建立平面直角坐标系.
(1)求边界所在抛物线的解析式;
(2)如图2,该景区管理处欲在区域内围成一个矩形
场地,使得点
在边界
上,点
在边界
上,试确定点
的位置,使得矩形
的周长最大,并求出最大周长.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】记无穷数列的前n项
,
,…,
的最大项为
,第n项之后的各项
,
,…的最小项为
,
.
(1)若数列的通项公式为
,写出
,
,
;
(2)若数列的通项公式为
,判断
是否为等差数列,若是,求出公差;若不是,请说明理由;
(3)若数列为公差大于零的等差数列,求证:
是等差数列.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”,将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列,则
______;
______.(注:三三数之余二是指此数被3除余2,例如“5”)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知正方体的棱长为2,点
分别是棱
的中点,则二面角
的余弦值为_________;若动点
在正方形
(包括边界)内运动,且
平面
,则线段
的长度范围是_________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,给出下列三个结论:
①当时,函数
的单调递减区间为
;
②若函数无最小值,则
的取值范围为
;
③若且
,则
,使得函数
.恰有3个零点
,
,
,且
.
其中,所有正确结论的序号是______.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com