【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设函数有两个极值点
(
),若
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2).
【解析】
(1)求出导函数,令
,利用判别式讨论
的取值范围,结合导数与函数单调性的关系即可求解.
(2)根据题意可得是方程
的两个不等正实根,由(1)知
,利用韦达定理得
,且
,然后分离参数只需
恒成立,
,从而令
,利用导数求出
的最小值即可求解.
(1)因为,
所以.
令,
,
当即
时,
,即
,
所以函数单调递增区间为
.
当即
或
时,
.
若,则
,所以
,即
,
所以函数单调递增区间为
.
若,则
,由
,即
得
或
;
由,即
得
.
所以函数的单调递增区间为
;单调递减区间为
.
综上,当时,函数
单调递增区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)由(1)得,
若有两个极值点
,则
是方程
的两个不等正实根,
由(1)知.则
,故
,
要使恒成立,只需
恒成立.
因为
令,则
,
当时,
,
为减函数,所以
.
由题意,要使恒成立,只需满足
.
所以实数的取值范围
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知M是椭圆C:+
=1(a>b>0)上一点,F1F2分别为椭圆C的左右焦点,且|F1F2|=2,∠F1MF2=
,△F1MF2的面积为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l过椭圆C右焦点F2,交该椭圆于AB两点,AB中点为Q,射线OQ交椭圆于P,记△AOQ的面积为S1,△BPQ的面积为S2,若,求直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】用表示一个小于或等于
的最大整数.如:
,
,
. 已知实数列
、
、
对于所有非负整数
满足
,其中
是任意一个非零实数.
(Ⅰ)若,写出
、
、
;
(Ⅱ)若,求数列
的最小值;
(Ⅲ)证明:存在非负整数,使得当
时,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某央企在一个社区随机采访男性和女性用户各50名,统计他(她)们一天()使用手机的时间,其中每天使用手机超过6小时(含6小时)的用户称为“手机迷”,否则称其为“非手机迷”,调查结果如下:
男性用户的频数分布表
男性用户日用时间分组( | |||||
频数 | 20 | 12 | 8 | 6 | 4 |
女性用户的频数分布表
女性用户日用时间分组( | |||||
频数 | 25 | 10 | 6 | 8 | 1 |
(1)分别估计男性用户,女性用户“手机迷”的频率;
(2)求男性用户每天使用手机所花时间的中位数;
(3)求女性用户每天使用手机所花时间的平均数与标准差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“熔喷布”是口罩生产的重要原材料,1吨熔喷布大约可供生产100万只口罩.2020年,制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨,并且从2月份起,每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%.企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商,企业乙2020年1月份的产能为100吨,为满足市场需求,从2月份到月份(
且
),每个月比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产,从
月份到9月份不再增加新的生产线.计划截止到9月份,企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外,还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其它厂商,则企业乙至少要增加___条熔喷布生产线.
(参考数据:,
)
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【题目】已知曲线,把
上各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数
的图象,关于
有下述四个结论:
(1)函数在
上是减函数;
(2)方程在
内有2个根;
(3)函数(其中
)的最小值为
;
(4)当,且
时,
,则
.
其中正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】广元市某校高三数学备课组为了更好地制定二轮复习的计划,开展了试卷讲评后效果的调研,从上学期市一诊考试数学试题中选出一些学生易错题,重新进行测试,并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”,出了错误的同学为“不过关”,现随机抽查了年级人,他们的测试成绩的频数分布如下表:
市一诊分数段 | |||||
人数 | 5 | 10 | 15 | 13 | 7 |
“过关”人数 | 1 | 3 | 8 | 8 | 6 |
(1)由以上统计数据完成如下列联表,并判断是否有
的把握认为市一诊数学成绩不低于
分与测试“过关”有关?说明你的理由;
分数低于 | 分数不低于 | 合计 | |
“过关”人数 | |||
“不过关”人数 | |||
合计 |
(2)根据以上数据估计该校市一诊考试数学成绩的中位数.下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,
,离心率是
,P为椭圆上的动点.当
取最大值时,
的面积是
(1)求椭圆的方程:
(2)若动直线l与椭圆E交于A,B两点,且恒有,是否存在一个以原点O为圆心的定圆C,使得动直线l始终与定圆C相切?若存在,求圆C的方程,若不存在,请说明理由
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