Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，若在曲线上存在点使得，则实数的取值范围为__________

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意，设P（x，y），分析可得若|PB|＝2|PA|，则有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，变形可得x2+y2＝4，进而可得P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆；将曲线C的方程变形为（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，可得以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；据此分析可得若曲线C上存在点P使得|PB|＝2|PA|，则圆C与圆x2+y2＝4有公共点，由圆与圆的位置关系可得3﹣22+3，解可得a的取值范围，即可得答案．

根据题意，设P（x，y），

若|PB|＝2|PA|，即|PB|2＝4|PA|2，则有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，

变形可得：x2+y2＝4，

即P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆，

曲线Cx2﹣2ax+y2﹣4ay+5a2﹣9＝0，即（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，则曲线C是以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；

若曲线C上存在点P使得|PB|＝2|PA|，则圆C与圆x2+y2＝4有公共点，

则有3﹣22+3，即1|a|≤5，

解可得：a或a，

即a的取值范围为：[，]∪[，]；

故答案为：[，]∪[，]．