Question

3．如图所示，线段MN是⊙O₁和⊙O₂的公共弦，AN是⊙O₂的切线，过M点的直线分别交⊙O₁和⊙O₂于B，C两点，交AN于点D．
（1）证明：$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{NC}$；
（2）若CN是⊙O₁的切线，且ND=6，MC=5，AD=2，求CN的长．

Answer 1

分析 （1）先证AB∥CN，可得△ABD∽△NCD，即可证明$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{NC}$；
（2）利用切割线定理求出DM，BD，根据CN是⊙O₁的切线，利用切割线定理，求CN的长．

解答 证明：（1）∵AN是⊙O₂的切线，
∴∠ANM=∠C，
∵∠ANM=∠ABD，
∴∠ABD=∠C，
∴AB∥CN，
∴△ABD∽△NCD，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{NC}$；
解：（2）∵DN是⊙O₂的切线，
∴DN²=DM•（DM+MC），
∴6²=DM•（DM+5），
∴DM=4，
∵AD•DN=BD•DM，
∴BD=3，
∴CB=12，
∵CN是⊙O₁的切线，
∴CN²=CM•CB=5×12=60，
∴CN=2$\sqrt{15}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．