Question

8．已知函数f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，根据周期公式即可求得f（x）的最小正周期；
（2）由x的取值范围，求得2x-$\frac{π}{3}$的取值范围，根据正弦函数图象及性质即可求得f（x）的最小值．

解答 解：（1）f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由周期公式T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
函数f（x）的最小正周期π；
（2）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
由正弦函数图象及性质可知：f（x）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$时，即x=-$\frac{π}{12}$时，函数f（x）取最小值，
∴当x=-$\frac{π}{12}$时，函数f（x）取最小值-1．

点评 本题考查三角函数的基本性质的应用，三角函数的图象与性质及最值的求法，考查计算能力，属于中档题．