Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$（c是椭圆的焦距长的一半）交x轴于A点，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆的第一象限于P点，交AB于D点，若点D满足2$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点）．
（I）求椭圆的离心率；
（II）若半焦距为3，过点A的直线l交椭圆于两点M、N，问在x轴上是否存在定点C使$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$为常数？若存在，求出C点的坐标及该常数值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由题意分别求得D、F和P点坐标，根据向量加法的坐标表示求得a和b的关系、由椭圆的性质a²=b²+c²及e=$\frac{c}{a}$即可求得e；
（II）由c=3，即可求得椭圆方程，并求得过点A的直线方程，代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，由△＞0求得k的取值范围，利用韦达定理，表示出$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$，令$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=u，（整理68+4n²-32n-4u）k²+n²-u-12=0，对任意k∈（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）都成立，求得关于n和u的二元一次方程组，即可求得n的值，求得C点坐标．

解答 解：（I）由题意可知：A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），B（0，b），
直线AB的方程是：$\frac{cx}{{a}^{2}}+\frac{y}{b}=1$，将x=c代入，得y=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴D（0，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$），将x=c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$（舍负），
∴P（0，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$），
∵2$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$，
∴2（0，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）=（c，0）+（0，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$），整理得：$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{a}$，即a=2b，
∵a²=b²+c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
椭圆的离心率$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（II）当c=3时，椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，过A（4，0）的直线方程为y=k（x-4），
将直线方程代入椭圆方程消去y，整理得：（1+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴△=（-32k²）-4（1+4k²）（64k²-12）=-4（16k²-12）＞0，
解得：k²＜$\frac{3}{4}$，
假设存在点C（n，0），使得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$为常数，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{1+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（x₁-n，y₁）•（x₂-n，y₂），
=（x₁-n）•（x₂-n）+y₁•y₂，
=（x₁-n）•（x₂-n）+k²（x₁-4）（x₂-4），
=（1+k²）x₁•x₂-（n+4k²）（x₁+x₂）+n²+16k²，
=（1+k²）×$\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$-（n+4k²）×$\frac{64{k}^{2}-12}{1+4{k}^{2}}$+n²+16k²=u，
整理得：（68+4n²-32n-4u）k²+n²-u-12=0，对任意k²＜$\frac{3}{4}$都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{68+4{n}^{2}-32n-4u=0}\\{{n}^{2}-u-12=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{29}{8}}\\{u=\frac{73}{64}}\end{array}\right.$，
故在x轴上存在点（$\frac{29}{8}$，0）使为常数．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查一元二方程根与系数的关系，向量的坐标表示，考查分析问题、解决问题及计算能力，属于难题．