Question

5．已知函数f（x）=x²+3x-3-ke^x．
（I） 当x≥-5时，f（x）≤0，求k的取值范围；
（II） 当k=-1时，求证：f（x）＞-6．

Answer 1

分析 （I）由题意，分离参数求得k的取值范围，构造辅助函数$g（x）=\frac{{{x^2}+3x-3}}{e^x}$（x≥-5），求导，利用导数求得函数的单调区间及最大值，即可求得k的取值范围；
（II）当k=-1时，求得f′（x），构造辅助函数h（x）=2x+3+e^x，求导，求得h（x）单调区间及零点，即可求得f（x）的最小值，由$f（{x_0}）=x_0^2+{x_0}-6$在（-2，-1）上单调递减，f（x₀）＞f（-1）=-6，即可求证f（x）＞-6．

解答 解：（I） 由题意可知，当x≥-5时x²+3x-3≤ke^x恒成立，即$k≥\frac{{{x^2}+3x-3}}{e^x}$．
令$g（x）=\frac{{{x^2}+3x-3}}{e^x}$（x≥-5），则$g'（x）=\frac{{-{x^2}-x+6}}{e^x}=-\frac{{（{x+3}）（{x-2}）}}{e^x}$，
由g'（x）＜0，得-5≤x＜-3或x＞2，由g'（x）＞0，得-3＜x＜2，
所以g（x）在[-5，-3）和（2，+∞）单调递减，在（-3，2）单调递增．
所以$g{（x）_{极大}}=g（{-5}）=7{e^5}$，$g{（x）_{极大}}=g（2）=\frac{7}{e^2}$，g（-5）＞g（2），
所以x≥-5时，$g{（x）_{max}}=g（{-5}）=7{e^5}$，
所以k≥7e⁵；
（II）证明：当k=-1时，f（x）=x²+3x-3+e^x，f'（x）=2x+3+e^x，设h（x）=2x+3+e^x，
则h'（x）=2+e^x＞0恒成立，所以h（x）在R上单调递增．
又因为$h（{-1}）=1+\frac{1}{e}＞0$，$h（{-2}）=\frac{1}{e^2}-1＜0$，
所以h（x）=0在R上有唯一的零点，
即f'（x）在R上单调递增且f'（x）=0在R上有唯一的零点，
设这个零点为x₀，则x₀∈（-2，-1），并且有${e^{x_0}}=-2{x_0}-3$．
可知f（x）在（x₀，+∞）单调递增，在（-∞，x₀）单调递减．
所以$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）=x_0^2+3{x_0}-3+{e^{x_0}}$=$x_0^2+3{x_0}-3-2{x_0}-3$=$x_0^2+{x_0}-6$，
因为$f（{x_0}）=x_0^2+{x_0}-6$在（-2，-1）上单调递减，
于是f（x₀）＞f（-1）=-6，
所以f（x）＞-6．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查利用导数求函数的单调性与最值，考查分离变量法及不等式的证明，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．