Question

已知函数f（x）=sin（2x-

π

3

）+cos（2x-

π

6

）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，由此求得最小正周期．
（2）由（1）得到的表达式，结合当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求出相位的范围，再根据正弦函数的图象与性质的公式，即可得到函数的最大值与最小值．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（2x-

π

3

）+cos（2x-

π

6

）+2cos²x-1
=sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

+cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

+cos2x （3分）
=sin2x+cos2x           （4分）
=

2

sin（2x+

π

4

）               （5分）
所以函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．（6分）
（2）∵f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数，在区间[

π

8

，

π

4

]上是减函数，（8分）
又f(-

π

4

)=-1，f(

π

8

)=

2

，f(

π

4

)=1，（11分）
故函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值为

2

，最小值为-1．（12分）

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，余弦函数的性质及和差角公式在求值中的应用．