Question

已知在同一平面内的两个向量

a

=(

3

sinx+cos(ωx+

π

3

)，-1)，

b

=(1，1-cos(ωx-

π

3

))，其中ω＞0，x∈R．函数f(x)=

a

•

b

，且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，

π

2

]上的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）把向量的坐标代入数量积公式，展开两角和的余弦公式，化积后由周期公式求得ω的值，则函数解析式可求；
（2）利用函数图象的平移求得函数y=g（x），由复合函数单调性的求法求解函数y=g（x）在[0，

π

2

]上的单调递增区间．

解答： 解：（1）由向量

a

=(

3

sinx+cos(ωx+

π

3

)，-1)，

b

=(1，1-cos(ωx-

π

3

))，
得f(x)=

a

•

b

=

3

sinωx+cos（ωx+

π

3

）+cos（x-

π

3

）-1
=2sin（ωx+

π

6

）-1．
由

2π

ω

=π，得ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1；
（2）将函数的图象向右平移

π

6

个单位后，得到函数y=g（x）的解析式为g(x)=2sin[2(x-

π

6

)+

π

6

]-1=2sin(2x-

π

6

)-1，
由题意，得2kπ-

π

2

≤x≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函数y=g（x）在[0，

π

2

]上的单调递增区间是[0，

π

6

]．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换的应用，训练了符合函数单调性的求法，是中档题．