Question

已知向量

a

=（2sin（ωx+

2π

3

），2），

b

=（2cosωx，0）（ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

的图象与直线y=-2+

3

的相邻两个交点之间的距离为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=2cos（2ωx+

π

6

）+

3

，依题意知T=π，于是可求ω的值；
（Ⅱ）由x∈[0，2π]时⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

25π

6

]，利用余弦函数的单调性，即可求得函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4sin（ωx+

2π

3

）cosωx
=4[sinωx•（-

1

2

）+cosωx•

3

2

]cosωx
=2

3

cos²ωx-2sinωxcosωx
=

3

（1+cos2ωx）-sin2ωx
=2cos（2ωx+

π

6

）+

3

，
由题意，T=π，ω＞0，
∴

2π

2ω

=π，ω=1．
（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+

π

6

）+

3

，
∴x∈[0，2π]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

25π

6

]，
∴2x+

π

6

∈[π，2π]或2x+

π

6

∈[3π，4π]时，f（x）单调递增，
解得x∈[

5π

12

，

11π

12

]或[

17π

12

，

123π

12

]，
∴f（x）的单调增区间为[

5π

12

，

11π

12

]和[

17π

12

，

123π

12

]．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查余弦函数的单调区间的确定，考查解不等式组的能力，属于中档题．