Question

已知直线l过点C（4，1），
（1）若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程．
（2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点，O为坐标原点，记|OA|=a，|OB|=b，求a+b的最小值，并写出此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：（1）直线l在两坐标轴上的截距相等，就是说过原点和不过原点两种，不过原点的斜率为

1

4

；
（2）根据过点C得出

4

a

+

1

a

=1，然后利用均值不等式得出a=2b，进而得出a和b的值．

解答： 解：（1）若直线l过原点，设其方程为：y=kx，
又直线l过点C（4，1），则4k=1
∴k=

1

4

∴y=

1

4

x即x-4y=0
若直线l不过原点，设其方程为：

x

a

+

y

a

=1，
∵直线l过点C（4，1），
∴

4

a

+

1

a

=1
解得：a=5
直线l的方程为x+y-5=0；
综上，l的方程为x-4y=0或x+y-5=0
（2）设l的方程为：

x

a

+

y

b

=1，
∵直线l过点C（4，1），
∴

4

a

+

1

b

=1（1）
∴a+b=（a+b）（

4

a

+

1

b

）=5+

4b

a

+

a

b

≥5+2

4b a • a b

=9当且仅当

4b

a

=

a

b

即a=2b时取等号，将a=2b与（1）式联立得a=6，b=3，l的方程为x+2y-6=0
综上，a+b的最小值为9，l的方程为x+2y-6=0

点评：本题学生解题时容易漏掉直线过原点的情况，这是需要牢记．