Question

已知对于任意的实数a∈[3，+∞），恒有“当a∈[a，3a）时，都存在y∈[a，a²]，满足方程log_ax+log_ay=c”，则实数c的取值构成的集合为

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意可得x＞0，y＞0，y=

ac

x

，作出其图象如图所示，由减函数定义域和值域的关系得出

a2= ac a a= ac 3a

，求解方程组可得c只有一个值．

解答： 解：∵log_ax+log_ay=c，
∴x＞0，y＞0，y=

ac

x

，作出其函数图象：
由图象可以看出：函数y=

ac

x

，在区间[a，3a]上单调递减，
∴必有

a2= ac a a= ac 3a

，
解得c=3，a=3．适合题意．
∴实数c的取值的集合为{3}．
故答案为：{3}．

点评：本题考查了对数的运算性质，考查了数学转化思想方法，训练了由函数的单调性求函数的值域，是基础题．