Question

3．已知点F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，点P（3，y₀）（y₀＞1）是抛物线C上一点，且$|{PF}|=\frac{13}{4}$，⊙Q的方程为x²+（y-3）²=6，过点F作直线l，与抛物线C和⊙Q依次交于M，A，B，N．（如图所示）
（1）求抛物线C的方程；
（2）求（|MB|+|NA|）•|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由P（3，y₀）在抛物线C上得2py₀=9，结合抛物线的定义，即可求抛物线C的方程；
（2）由题知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=kx+1，表示出（|MB|+|NA|）•|AB|，即可求（|MB|+|NA|）•|AB|的最小值．

解答 解：（1）由P（3，y₀）在抛物线C上得2py₀=9
又由$|{PF}|=\frac{13}{4}$得${y_0}+\frac{p}{2}=\frac{13}{4}$
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{y_0}=1}\\{p=\frac{9}{2}}\end{array}}\right.$，$\left\{{\begin{array}{l}{{y_0}=\frac{9}{4}}\\{p=2}\end{array}}\right.$，又y₀＞1  故$\left\{{\begin{array}{l}{{y_0}=\frac{9}{4}}\\{p=2}\end{array}}\right.$
所以抛物线C的方程为x²=4y．…（4分）
（2）由题知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=kx+1
则圆心Q（0，3）到直线l的距离为$d=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{6-\frac{4}{{{k^2}+1}}}$…（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}}\right.$得y²-（2+4k²）y+1=0，
则${y_1}+{y_2}=4{k^2}+2$，由抛物线定义知，$|MN|={y_1}+{y_2}+2=4（1+{k^2}）$…（8分）
∴（|MB|+|NA|）•|AB|=（|MN|+|AB|）•|AB|=|MN||AB|+|AB|²
=$8（{k^2}+1）\sqrt{（6-\frac{4}{{{k^2}+1}}）}+4•（6-\frac{4}{{{k^2}+1}}）$=$8\sqrt{6{{（{k^2}+1）}^2}-4（{k^2}+1）}-\frac{16}{{{k^2}+1}}+24$…（10分）
设t=k²+1（t≥1），则$（|{MB}|+|{NA}|）•|{AB}|=8\sqrt{6{t^2}-4t}-\frac{16}{t}+24=8\sqrt{6{{（t-\frac{1}{3}）}^2}-\frac{2}{3}}-\frac{16}{t}+24$，（t≥1）
∵函数$y=\sqrt{6{{（t-\frac{1}{3}）}^2}-\frac{2}{3}}$和$y=-\frac{16}{t}$在[1，+∞﹚上都是单调递增函数
∴当t=1时即k=0时，（|MB|+|NA|）•|AB|有最小值$8\sqrt{2}+8$．…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查函数思想的运用，属于中档题．