Question

12．已知函数f（x）=|mx-2|-|mx+1|（m∈R）．
（1）当m=1时，解不等式f（x）≤1；
（2）若对任意实数m，f（x）的最大值恒为n，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=n时，$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤n．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，解不等式，即可得出结论；
（2）由绝对值不等式可得f（x）的最大值为3，再利用基本不等式，即可证明结论．

解答 解：（1）当m=1时，f（x）=|x-2|-|x+1|．
x＜-1时，f（x）=3，不符合题意；
-1≤x＜2时，f（x）=-2x+1≤1，可得0≤x＜2；
x≥2时，f（x）=-3≤1，符合题意；
∴不等式f（x）≤1的解集为[0，+∞）；
证明：（2）由绝对值不等式可得|mx-2|-|mx+1|≤|mx-2-mx-1|=3，
∴f（x）的最大值为3，
∴n=3，a+b+c=3，
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\frac{1+a}{2}$+$\frac{1+b}{2}$+$\frac{1+c}{2}$=3（当且仅当a=b=1时等号成立）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．