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    设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．

    (1)求L的方程；

    (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．

     

    （1）y＝x－1

    （2）见解析

    【解析】(1)设f(x)＝，则f′(x)＝

    所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.

    (2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(?x>0，x≠1)．

    g(x)满足g(1)＝0，且

    g′(x)＝1－f′(x)＝.

    当0＜x＜1时，x2－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；

    当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．

    所以，g(x)>g(1)＝0(?x>0，x≠1)．

    所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．

     

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