Question

17．已知a∈R，函数f（x）=x|x-2|．
（1）画出函数f（x）的图象，由图象写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）判断函数g（x）=f（x）-a的零点个数．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义，化简函数解析式，可得函数的图象；
（2）根据图象，可写单调区间；
（3）分类讨论，利用函数的图象，求函数g（x）=f（x）-a的零点个数．

解答 解：（1）函数f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，x＜2}\end{array}\right.$，图象如图所示；
（2）由图象可得，f（x）的单调增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]．
（3）由图象可得，0＜a＜1，函数g（x）=f（x）-a的零点个数是3
a=0或1，函数g（x）=f（x）-a的零点个数是2；
a＜0或a＞1，函数g（x）=f（x）-a的零点个数是1．

点评 本题考查分类讨论的数学思想，和利用图象求函数g（x）=f（x）-a的零点个数，考查数形结合的数学思想，属于中档题．