Question

6．已知抛物线y²=4x的焦点到双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线的距离为$\frac{1}{2}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\sqrt{5}+1$

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a=$\sqrt{3}$b，运用离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，
由题意可得d=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
即有a=$\sqrt{3}$b，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的焦点和渐近线方程，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．