Question

16．二项式（${\root{3}{x}$-$\frac{1}{{2\root{3}{x}}}$）ⁿ的展开式中各项系数之和为$\frac{1}{64}$，则展开式中的常数项为-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先x=1，求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项．

解答 解：令x=1，根据题意有${（{1-\frac{1}{2}}）^n}=\frac{1}{64}$，
解得n=6；
（${\root{3}{x}$-$\frac{1}{{2\root{3}{x}}}$）⁶展开式的通项公式为：
${T_{r+1}}=C_6^r{（{\root{3}{x}}）^{6-r}}{（{-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}}）^r}={（{-\frac{1}{2}}）^r}C_6^r{x^{\frac{6-2r}{3}}}$，
令$\frac{6-2r}{3}=0$，解得r=3；
所以，展开式的常数项为：
${T_4}={（{-\frac{1}{2}}）^3}C_6^3=-\frac{5}{2}$．
故答案为：-$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了用赋值法求二项式次数的应用问题，也考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．