Question

5．已知等差数列{a_n}的公差不为0，a₁=1，且$\frac{1}{a_1}，\;\frac{1}{a_2}，\;\frac{1}{a_4}$成等比数列，设{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=（　　）

• A． $\frac{{{{（n+1）}^2}}}{4}$
• B． $\frac{n（n+3）}{4}$
• C． $\frac{n（n+1）}{2}$
• D． $\frac{{{n^2}+1}}{2}$

Answer 1

分析 由等比数列的性质得$（\frac{1}{{a}_{2}}）^{2}$=$\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$，由等差数列通项公式得${a}_{1}（{a}_{1}+3d）=（{a}_{1}+d）^{2}$，求出公差d=1，由此能求出结果．

解答 解：∵等差数列{a_n}的公差不为0，a₁=1，且$\frac{1}{a_1}，\;\frac{1}{a_2}，\;\frac{1}{a_4}$成等比数列，
∴$（\frac{1}{{a}_{2}}）^{2}$=$\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$，
由${a}_{1}（{a}_{1}+3d）=（{a}_{1}+d）^{2}$，得公差d=1，
∴a_n=n．
∴${S}_{n}=\frac{n}{2}（1+n）=\frac{n（n+1）}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．