Question

17．已知x，y∈（0，$\frac{π}{2}$），且有2sinx=$\sqrt{6}$siny，tanx=$\sqrt{3}$tany，则cosx=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 已知等式利用同角三角函数基本关系变形，表示出cosx即可．

解答 解：∵x，y∈（0，$\frac{π}{2}$），且有2sinx=$\sqrt{6}$siny，即sinx=$\frac{\sqrt{6}}{2}$siny，tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=$\sqrt{3}$tany，
∴cosx=$\frac{sinx}{\sqrt{3}tany}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}siny}{\sqrt{3}•\frac{siny}{cosy}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosy，
∵sin²y+cos²y=1，
∴$\frac{2}{3}$sin²x+2cos²x=1，
∵sin²x+cos²x=1，
∴cos²x=$\frac{1}{4}$，
则cosx=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．