Question

7．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x-$\frac{π}{6}$），x∈R
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设函数g（x）=f（x）+$\sqrt{3}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且g（$\frac{α}{2}$）=$\frac{2}{3}$，0＜α＜π，求g（$\frac{π}{4}$+$\frac{α}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦和余弦公式，进行化简，求出f（x）的解析式，结合三角函数的单调性即可求f（x）的单调递增区间；
（2）求出g（x）的解析式，利用两角和差的余弦公式进行转化求解即可．

解答 解：（1）f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x-$\frac{π}{6}$）=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}sinx$）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx）
=2sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，
即f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]；
（2）∵f（x）=sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴g（x）=sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
则g（$\frac{α}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$
∵0＜α＜π，∴$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴0＜sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$$＜\frac{1}{2}$，
∴$\frac{5π}{6}$＜α+$\frac{π}{3}$＜π，∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴g（$\frac{π}{4}$+$\frac{α}{2}$）=2sin[（$\frac{π}{2}$+α）+$\frac{π}{3}$]=2sin[$\frac{π}{2}$+（α+$\frac{π}{3}$）]=2cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数单调性的求解以及三角函数式的化简和求值，利用两角和差的公式以及倍角公式将函数进行化简是解决本题的关键．