Question

12．已知函数f（x）=alnx-x+1，g（x）=-x²+（a+1）x+1，若对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 不等式可化为a（lnx-x）≥-x²+2x，根据条件可知lnx-x＜0，可得a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，把恒成立问题转换为最值问题，只需求出右式的最小值即可，
利用构造函数，通过导函数求出函数的单调性，确定函数的最值．

解答 解：对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，
∴alnx-x+1≥-x²+（a+1）x+1，
∴a（lnx-x）≥-x²+2x，
∵x∈[1，e]，
∴lnx＜1＜x，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，
设t（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，
求导，得t′（x）=
$\frac{（x-1）（x+2-lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
∵x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数．
所以t（x）_min=t（1）=-1，所以a≤-1．
故答案为a≤-1．

点评 考查了恒成立问题的转换思想和利用导函数判断函数的单调性，根据单调性求函数的最值．