Question

2．已知非常数数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1²-3a_n+1a_n+2a_n²=0（n∈N^*）；数列{b_n}满足$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=n²（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（2）令c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）非常数数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1²-3a_n+1a_n+2a_n²=0（n∈N^*），通过因式分解可得：a_n+1=2a_n，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵非常数数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1²-3a_n+1a_n+2a_n²=0（n∈N^*），
∴（a_n+1-a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∴a_n+1=2a_n，a_n+1=a_n=1舍去．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，
∴a_n=2^n-1．
∵数列{b_n}满足$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=n²（n∈N^*），
∴n=1时，$\frac{1}{{b}_{1}}$=1，解得b₁=1．
当n≥2时，$\frac{1}{{b}_{n}}$=n²-（n-1）²=2n-1．
∴b_n=$\frac{1}{2n-1}$（n=1时也成立）．
∴b_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=（2n-1）×2^n-1，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ=1+2×$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ+3．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．