Question

19．设变量x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-4≤0{，_{\;}}}\\{x-2y+2≤0}\\{kx-y+1≥0}\end{array}}$其中k＞$\frac{1}{2}$，若目标函数z=x-y的最小值大于-3，则k的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，3）
• B． （3，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，5）
• D． （5，+∞）

Answer 1

分析 先作出不等式组对应的平面区域，利用z=x-y的最小值大于-3，先求出z=x-y最小值为-3时k的值，建立条件关系即可求实数k的值．

解答 解：由z=x-y得y=x-z，
∵目标函数z=x-y的最小值大于-3，
∴当目标函数z=x-y的最小值等于-3时，
由图象可知要使z=x-y的最小值为-3，
即y=x+3，此时直线y=x+3对应区域的截距最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
即C（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），
同时A也在直线kx-y+1=0上，则$\frac{1}{2}$k-$\frac{7}{2}$+1=0，
得$\frac{1}{2}$k=$\frac{7}{2}$-1=$\frac{5}{2}$，
即k=5，
∴要使目标函数z=x-y的最小值大于-3，则$\frac{1}{2}$＜k＜5，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数先求出z取得最小值为-3时，对应的k的值，然后得到平面区域的对应关系是解决本题的关键．