Question

10．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意正数a，b，若f（a）-f（b）=1，则a-b＜1，
称f（x）是（0，+∞）上的“1级函数”，给出函数f（x）=x³，g（x）=e^x，h（x）=x+lnx，其中“1级函数”的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 在f（x）=x³中，若a-b≥1，a≥1，b＞0，则（a-b）（a²+ab+b²）一定大于0，从而a-b＜1；在g（x）=e^x中，由a=ln（1+e^b），b=ln（e^a-1），a-b=ln（1+e^b）-ln（e^a-1）＜1；在函数h（x）=x+lnx中，a-b≥1时，a+lna-b-lnb＞1，不成立，从而a-b＜1．

解答 解：①在f（x）=x³中，对任意正数a，b，若f（a）-f（b）=1，
则a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）=1，
∴若a-b≥1，a≥1，b＞0，则（a-b）（a²+ab+b²）一定大于0，
与题意不符号，
故a-b＜1．故函数f（x）=x³是“1级函数”；
②在g（x）=e^x中，对任意正数a，b，若f（a）-f（b）=1，
则e^a-e^b=1，∴e^a=1+e^b，e^b=e^a-1，
∴a=ln（1+e^b），b=ln（e^a-1），
∴a-b=ln（1+e^b）-ln（e^a-1）=$ln（\frac{1+{e}^{b}}{{e}^{a}-1}）$＜ln（$\frac{{e}^{a}}{{e}^{a}-1}$）＜1，
故函数g（x）=e^x是“1级函数”；
③在函数h（x）=x+lnx中，对任意正数a，b，若f（a）-f（b）=1，
则a+lna-b-lnb=（a-b）+ln$\frac{a}{b}$=1，
∴a-b≥1时，a+lna-b-lnb＞1，不成立，
∴a-b＜1，故函数fh（x）=x+lnx不是“1级函数”．
故选：D．

点评 本题考查“1级函数”的个数的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．