Question

5．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），O为坐标原点，F为其焦点，准线与x轴交点为E，P为抛物线上任意一点，则$\frac{|PF|}{|PE|}$（　　）

• A． 有最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 有最小值1
• C． 无最小值
• D． 最小值与p有关

Answer 1

分析 作PA⊥准线l，垂足为A，则|PF|=|PA|，可得$\frac{|PF|}{|PE|}$=$\frac{|PA|}{|PE|}$=sin∠AEP．由题意直线PE与抛物线相切时，sin∠AEP取得最小值，求出切线的斜率，即可得出结论．

解答 解：作PA⊥准线l，垂足为A，则|PF|=|PA|，
∴$\frac{|PF|}{|PE|}$=$\frac{|PA|}{|PE|}$=sin∠AEP．
由题意直线PE与抛物线相切时，sin∠AEP取得最小值．
设切线PE的方程为x=my-$\frac{p}{2}$，
代入y²=2px，可得y²-2pmy+p²=0
由△=（-2pm）²-4p²=0，可得m=±1，
∴sin∠AEP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{|PF|}{|PE|}$有最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用抛物线的定义正确转化是关键．