Question

17．过双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的左焦点F₁，作圆x²+y²=4的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF₁的中点为M，则|MO|-|MT|=$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 利用坐标原点是两焦点的中点，利用三角形的中位线的性质得到MO用焦半径表示；将MT用焦半径表示；利用圆的切线与过切点的半径垂直得到直角三角形；利用勾股定理及双曲线的定义，求出所求值．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的a=2，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=3，
设双曲线的右焦点为F，
由O为FF₁中点，M为PF₁的中点，
可得MO为三角形PFF₁的中位线，
|MO|=$\frac{1}{2}$|PF|，
又|MT|=|PT|-|PM|=|PF₁|-|F₁T|-$\frac{1}{2}$|PF₁|=$\frac{1}{2}$|PF₁|-|F₁T|，
所以|MO|-|MT|=-$\frac{1}{2}$（|PF₁|-|PF|）+|F₁T|=|F₁T|-a，
又a=2，
即有|F₁T|=$\sqrt{|O{F}_{1}{|}^{2}-4}$=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$．
所以|MO|-|MT|=$\sqrt{5}$-2．
故答案为：$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，在解决双曲线中的有关中点问题时，要注意坐标原点是两个焦点的中点、解决与双曲线的与焦点有关的问题常联系双曲线的定义．