Question

9．求解下列问题：
（1）用排列数表示（55-n）（56-n）…（69-n）（n∈N^*且n＜55）；
（2）计算$\frac{{2A}_{8}^{5}+{7A}_{8}^{4}}{{A}_{8}^{8}{-A}_{9}^{5}}$；
（3）解方程：${A}_{2x+1}^{4}$=140${A}_{x}^{3}$．

Answer 1

分析 （1）通过变形可知（55-n）（56-n）…（69-n）=（69-n）[（69-n）-1][（69-n）-2]…[（69-n）-14]，利用排列数公式即得结论；
（2）利用排列数公式计算即得结论；
（3）利用排列数公式化简可知4x²-35x+69=0，进而计算可得结论．

解答 解：（1）（55-n）（56-n）…（69-n）
=（69-n）[（69-n）-1][（69-n）-2]…[（69-n）-14]
=${A}_{69-n}^{15}$（n∈N^*且n＜55）；
（2）$\frac{{2A}_{8}^{5}+{7A}_{8}^{4}}{{A}_{8}^{8}{-A}_{9}^{5}}$=$\frac{\frac{2×8!}{3!}+\frac{7×8!}{4!}}{8!-\frac{9!}{4!}}$
=$\frac{\frac{8×8!}{4!}+\frac{7×8!}{4!}}{\frac{4!×8!}{4!}-\frac{9×8!}{4!}}$
=$\frac{8+7}{4!-9}$
=1；
（3）∵${A}_{2x+1}^{4}$=140${A}_{x}^{3}$，
∴（2x+1）•2x•（2x-1）（2x-2）=140x（x-1）（x-2），
整理得：（2x+1）（2x-1）=35（x-2），即4x²-35x+69=0，
解得：x=3或x=$\frac{23}{4}$（舍）．

点评 本题考查排列数公式的推导，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．