Question

12．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理可得b²+c²-bc=4．再由余弦定理可得A=$\frac{π}{3}$．
（2）利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得面积的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a-b）=（c-b）c，即 b²+c²-bc=4，即b²+c²-4=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）再由b²+c²-bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
此时，△ABC为等边三角形，它的面积为 $\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故△ABC的面积的最大值为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．