Question

（12分）已知椭圆C：过点，且椭圆C的离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若动点P在直线上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由椭圆过点，且椭圆C的离心率为，建立关于的方程组，可解得的值，即可得椭圆的方程.

（Ⅱ）由点P的横坐标为-1，并且点P是MN的中点.直线有两种情况，斜率存在时联立直线的方程与椭圆方程，消去y，由x的二次方程根据韦达定理，再写出直线的方程，即可得到直线过定点.另外再检验斜率不存在的时同样过定点.由此即可的结论.

试题解析：（Ⅰ）因为点在椭圆C上，所以，又椭圆C的离心率为，所以，

即，所以，所以椭圆C的方程为

（Ⅱ）设，，

①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，，

由，得，

所以，因为P为MN中点，所以，即，

所以，因为直线，所以，所以直线的方程为

，即，显然直线恒过定点

②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为，

此时直线为x轴，也过点 综上所述，直线恒过定点

（此题还可以用点差法）

考点：1.椭圆的方程的性质.2.直线与椭圆的位置关系.3.分类思想.4.运算能力.

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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