Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，1+$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c}{b}$，则b+c的最大值为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{sinB}$，结合sinC≠0，sinB≠0，可求cosA=$\frac{1}{2}$，由余弦定理可得：b+c=$\sqrt{9+3bc}$，利用基本不等式可求9≥bc，进而可求b+c的最大值．

解答 解：∵1+$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c}{b}$，可得：1+$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{sinB}$，
∴$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{sinB}$，
∵C，B∈（0，π），sinC≠0，sinB≠0，
∴可得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∵a=3，
∴由余弦定理可得：9=b²+c²-bc，
∴9=（b+c）²-3bc，可得：b+c=$\sqrt{9+3bc}$，
又∵9=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，
∴b+c=$\sqrt{9+3bc}$≤$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，当且仅当b=c时等号成立．
故b+c的最大值为3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．