Question

20．等差数列{a_n}的公差为2，且a₁，a₇，a₃₇依次构成等比数列．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用（a₁+12）²=a₁（a₁+72）计算可知首项a₁=3，进而可得结论；
（Ⅱ）通过裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的公差为2，
∴a₇=a₁+12，a₃₇=a₁+72，
又∵a₁，a₇，a₃₇依次构成等比数列，
∴（a₁+12）²=a₁（a₁+72），
解得a₁=3，
∴数列{a_n}的通项a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）；
（Ⅱ）∵S_n=n（n+2），
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）}$-$\frac{1}{2（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．