Question

8．某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成绩情况，随机从该校高三文科与理科各抽取50名学生的数学成绩，作出频率分布直方图如图，规定考试成绩[120，150]内为优秀．

（1）由以上频率分布直方图填写下列2×2列联表，若按是否优秀来判断，是否有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异．

	文科	理科	总计
优秀
非优秀
总计	50	50	100

（2）某高校派出2名教授对该校随机抽取的学生中一练数学成绩在140分以上的学生进行自主招生面试，每位教授至少面试一人，每位学生只能被一位教授面试，若甲教授面试的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；

P（K2＞k）	0.10	0.025	0.010
K2	2.706	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图，确定表中数据，可得2×2列联表，计算K²，即可判断是否有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异．
（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由频率分布直方图知，该校的文科数学成绩优秀的人数为（0.010+0.004+0.002）×10×50=8人，故非优秀人数为50-8=42人，该校的理科数学成绩优秀的人数为（0.020+0.014+0.006）×10×50=20人，故非优秀人数为50-20=30人
2×2列联表

	文科	理科	总计
优秀	8	20	28
非优秀	42	30	72
总计	50	50	100

所以K²=$\frac{100（8×30-42×20）^{2}}{50×50×28×72}$≈7.143》6.635，
所以有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异．
（2）由（1）知，ξ=1，2，3．
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{14}$=$\frac{2}{7}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{14}$=$\frac{3}{7}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{14}$=$\frac{2}{7}$，
所以ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P	$\frac{2}{7}$		$\frac{2}{7}$

Eξ=1×$\frac{2}{7}$+2×$\frac{3}{7}$+3×$\frac{2}{7}$=2．

点评 本题主要考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于中档题．