Question

13．无穷数列{a_n}的前n项和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．S₁₀=45
（1）求p的值；          
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过在S_n=npa_n中令n=1可知p=1或a₁=0并能排除p=1，进而重新令n=2计算即得结论；
（2）利用a_n=S_n-S_n-1整理可知$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n-2}（{n≥3}）$，通过累乘可知${a_n}=（{n-1}）{a_2}（{n∈{N^*}}）$，进而计算即得结论．

解答 解：（1）令n=1，则a₁=pa₁，
∴p=1或a₁=0；
假设p=1，再令n=2，则a₁+a₂=2a₂，
于是有a₁=a₂，这与题目a₁≠a₂矛盾，
∴必有a₁=0，p≠1，a₂≠0，
下面重新令n=2，则a₁+a₂=2pa₂，
∵a₁=0，a₂≠0，
∴$p=\frac{1}{2}$；
（2）∵$p=\frac{1}{2}$，
∴${S_n}=\frac{n}{2}{a_n}$，${S_{n-1}}=\frac{n-1}{2}{a_{n-1}}$，
以上两式相减得：${a_n}=\frac{n}{2}{a_n}-\frac{n-1}{2}{a_{n-1}}（{n≥2}）$，
即：$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n-2}（{n≥3}）$，
采用累乘法可得：${a_n}=（{n-1}）{a_2}（{n∈{N^*}}）$，
又∵S₁₀=45，
∴a₁₀=9，
∴a₂=1，
∴${a_n}=n-1（{n∈{N^*}}）$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．