Question

3．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosωx，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinωx-cosωx，a），其中（x∈R，ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最小正周期为π，最大值为3．
（1）求ω和常数a的值；
（2）求当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f（x），利用其周期性与最大值即可得出．
（2）利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2cosωx$（\sqrt{3}sinωx-cosωx）$+a
=$2\sqrt{3}sinωxcosωx-2co{s}^{2}2ωx$+a
=$\sqrt{3}sin2ωx$-cos2ωx-1+a
=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$+a-1．
由T=$\frac{2π}{2ω}$=π，得ω=1．
又当$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$=1时，y_max=2+a-1=3，解得a=2．
（2）由（1）知：f（x）=2$sin（2x-\frac{π}{6}）$+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]
∴f（x）∈[0，3]，
∴所求的值域为[0，3]．

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．