Question

14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2asinB=$\sqrt{3}$b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当a=2时，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用正弦定理可得2sinAsinB=$\sqrt{3}$sinB，结合sinB＞0，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合△ABC为锐角三角形，即可求A的值．
（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a．b．c．由余弦定理得4=b²+c²-2bccos60°=b²+c²-bc，又b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，可求bc≤4，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分10分）
解：（Ⅰ）∵2asinB=$\sqrt{3}$b，
∴2sinAsinB=$\sqrt{3}$sinB，
∵sinB＞0，∴2sinA=$\sqrt{3}$，
故sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因为△ABC为锐角三角形，所以A=60°．（4分）
（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a．b．c．
由题意知a=2，
由余弦定理得4=b²+c²-2bccos60°=b²+c²-bc，
又b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc≤\frac{\sqrt{3}}{4}×4=\sqrt{3}$，
当且仅当△ABC为等边三角形时取等号，
所以△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．                    （10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．