Question

6．已知点A（x，y）为函数y=$\frac{1}{x}$图象上在第一象限内的动点，若x³+y³≥a（x+y）²恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 利用参数分离法将不等式进行转化，利用立方和公式以及基本不等式求出式子的最大值即可得到结论．

解答 解：∵A（x，y）为函数y=$\frac{1}{x}$图象上在第一象限内的动点，
∴x＞0，y＞0，且y=$\frac{1}{x}$，
∵x³+y³≥a（x+y）²恒成立，
∴a≤$\frac{{x}^{3}+{y}^{3}}{（x+y）^{2}}$=$\frac{（x+y）（{x}^{2}-xy+{y}^{2}）}{（x+y）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}{x+y}$=$\frac{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-1}{x+\frac{1}{x}}$=$\frac{（x+\frac{1}{x}）^{2}-3}{x+\frac{1}{x}}$=（x+$\frac{1}{x}$）-$\frac{3}{x+\frac{1}{x}}$，
设t=x+$\frac{1}{x}$，则t≥2，
则（x+$\frac{1}{x}$）-$\frac{3}{x+\frac{1}{x}}$=t-$\frac{3}{t}$，
∵y=t-$\frac{3}{t}$在[2，+∞）上为增函数，
∴当t=2时，函数y=t-$\frac{3}{t}$取得最小值为y=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
则a≤$\frac{1}{2}$，
故答案为：（-∞，$\frac{1}{2}$]

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法，立方和公式以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．