Question

15．椭圆$\frac{x^2}{{\frac{a^2}{2}}}$+$\frac{y^2}{a^2}$=1与连结A（1，2），B（2，3）的线段没有公共点，则正数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\sqrt{6}$）∪（$\sqrt{17}$，∞）
• B． （$\sqrt{17}$，∞）
• C． [$\sqrt{6}$，$\sqrt{17}$]
• D． （$\sqrt{6}$，$\sqrt{17}$）

Answer 1

分析 因为椭圆与线段无公共点，所以线段AB在椭圆的内部或在椭圆的外部，即由“A，B两点同在椭圆内或椭圆外”求解．

解答 解：根据题意有：A，B两点同在椭圆内或椭圆外．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}}＜1}\\{\frac{8}{{a}^{2}}+\frac{9}{{a}^{2}}＜1}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}}＞1}\\{\frac{8}{{a}^{2}}+\frac{9}{{a}^{2}}＞1}\end{array}\right.$，
∴0＜a＜$\sqrt{6}$或a＞$\sqrt{17}$．
故选A．

点评 本题主要通过直线与椭圆的位置关系，来考查点与椭圆的位置关系．当点（x₀，y₀）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1内，则有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$＜1，点（x₀，y₀）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1外，则有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$＞1．