Question

20．某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、汽油费费用共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年为0.6万元，…依等差数列逐年递增．
（1）设该车使用n年的总费用（包括购车费）为f（n），试写出f（n）的表达式；
（2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年？使得年平均费用最少）？
（3）如果汽车采用分期付款的方式购买，在购买一个月后第一次付款，且在每月的同一天等额付款一次，在购买后的第一年（24个月）将货款全部付清，月利率为1%，按复利算，每月应付款多少元给汽车销售商（结果精确到元，参考数据1.01²⁴≈1.27）？

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的求和公式即可写出f（n）的表达式；
（2）求出年平均费用，利用基本不等式进行求解即可；
（3）利用等比数列的求和公式建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（1）依题意，得：f（n）=14.4+（0.2+0.4+…+0.2n）+0.9n
=14.4+$\frac{0.2n（n+1）}{2}$+0.9n=0.1n²+n+14.4，（n∈N^•），
（2）设该车的年平均费用为S万元，则有：
S=$\frac{1}{n}$（0.1n²+n+14.4）=$\frac{n}{10}$+$\frac{14.4}{n}$+1≥2$\sqrt{\frac{n}{10}•\frac{14.4}{n}}+1$=2$\sqrt{1.44}+1$=3.4，
当且仅当$\frac{n}{10}=\frac{14.4}{n}$，即：n=12时，等号成立．
故汽车使用12年报废最合算．
（2）设每月付款a元，那么
a+a×1.01+a×1.01²+…+a×1.01²³=14.4×1.01²⁴，
即$\frac{a（1.0{1}^{24}-1）}{1.01-1}$=14.4×1.01²⁴，
即$\frac{a（1.27-1）}{0.01}=14.4×1.27$，
解得a≈6773．

点评 本题主要考查与数列有关的应用问题，根据等差数列和等比数列的求和公式以及基本不等式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．