Question

5．在平面几何中有如下结论：正三角形的边长为a，则它的内切圆的半径r=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a．通过类比，在空间中可以得到：正四面体的棱长为a，则它的内切球的半径r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a．

Answer 1

分析 平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．

解答 解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，
球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．
把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×$\frac{1}{3}$S•r=$\frac{1}{3}$•S•h，r=$\frac{1}{4}$h．
（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）
所以它的内切球的半径r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{12}$a．

点评 本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．