Question

15．已知数列{a_n}满足a_n=$\frac{1}{{1-{a_{n-1}}}}（n＞1，n∈{N^*}）$，a₁=2，则数列{a_n}的前6项和S₆=3．

Answer 1

分析 通过关系式a_n=$\frac{1}{{1-{a_{n-1}}}}（n＞1，n∈{N^*}）$及首项a₁=2，通过写出前几项的值找出周期，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{{1-{a_{n-1}}}}（n＞1，n∈{N^*}）$，a₁=2，
∴a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-2}$=-1，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
且前3项和S₃=-1+$\frac{1}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，
∴S₆=2S₃=$2×\frac{3}{2}$=3，
故答案为：3．

点评 本题考查数列的前n项和，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．