Question

17．已知{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n+1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ（n∈N^*），S_n=a₁+a₂•3+a₃•3²+…+a_n•3^n-1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得4S_n-3ⁿa_n=n．

Answer 1

分析 先对S_n=a₁+a₂•3+a₃•3²+…+a_n•4^n-1 两边同乘以3，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出4S_n-3ⁿa_n的表达式．

解答 解：由S_n=a₁+a₂•3+a₃•3²+…+a_n•3^n-1 ①
得3•S_n=3•a₁+a₂•3²+a₃•3³+…+a_n-1•3^n-1+a_n•3ⁿ ②
①+②得：4S_n=a₁+3（a₁+a₂）+3²•（a₂+a₃）+…+3^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•3ⁿ
=a₁+3×$\frac{1}{3}$+3²•（$\frac{1}{3}$）²+…+3^n-1•（$\frac{1}{3}$）^n-1+3ⁿ•a_n
=1+1+1+…+1+3ⁿ•a_n
=n+3ⁿ•a_n．
所以4S_n-3ⁿ•a_n=n，
故答案为：n．

点评 本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．