Question

9．已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|-m（m∈R），不等式f（x）＜5的解集为（-4，2）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）实数a，b，c满足a²+$\frac{{b}^{2}}{4}$+$\frac{{c}^{2}}{9}$=m，求证：a+b+c≤$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，解不等式，利用不等式f（x）＜5的解集为（-4，2），求m的值；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=|x-1|+|x+3|-m，
∴当x＜-3时，由不等式-2x-2-m＜5，得x＞-$\frac{m+7}{2}$．…（2分）
当-3≤x≤1时，4-m＜5．…（3分）
当＞1时，由不等式2x+2-m＜5，得x＜$\frac{3+m}{2}$．…（4分）
∵不等式f（x）＜5的解集为（-4，2），
∴{x|-$\frac{m+7}{2}$＜x＜$\frac{3+m}{2}$}={x|-4＜x＜2}，
∴m=1．…（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a²+$\frac{{b}^{2}}{4}$+$\frac{{c}^{2}}{9}$=1，…（7分）
∴（a+b+c）²=（1×a+2×$\frac{b}{2}$+3×$\frac{c}{3}$）²≤（1²+2²+3²）（a²+$\frac{{b}^{2}}{4}$+$\frac{{c}^{2}}{9}$）=14…（9分）
∴a+b+c≤$\sqrt{14}$．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．