Question

19．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（0，2）时，f（x）=2^x，则f（2015）+f（2012）的值为（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由于对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），则4为f（x）的周期，从而f（2015）+f（2012）=-f（4×504-1）+f（4×503）=f（-1）+f（0）=-f（1），再根据f（x）的奇偶性可得f（0）=0，f（-1）=-f（1）．

解答 解：由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）=0，
又x∈（0，2）时，f（x）=2^x，
所以f（1）=2，
因为对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），
所以4为f（x）的周期，
所以f（2015）+f（2012）
=-f（4×504-1）+f（4×503）
=f（-1）+f（0）=-f（1）=-2，
故选：A

点评 本题考查函数的奇偶性、周期性及函数求值，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属中档题．