Question

14．已知三个集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|x²-（a+2）x+2a=0}，C={x|bx²-x+1=0}，问同时满足B?A，A∪C=A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b的取值情况；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先求得集合A、B；然后结合已知条件得到C⊆A，则C中元素有以下三种情况：①C=∅；②C={2}或{3}；③C={2，3}．分别求得这三种情况下b的取值范围．

解答 解：∵A={x|x²-5x+6=0}={2，3}，B={x|x²-（a+2）x+2a=0}={x|（x-2）（x-a）=0}，
又∵B?A，
∴a=2．
∵A∪C=A，
∴C⊆A，则C中元素有以下三种情况：
①若C=∅，即方程bx²-x+1=0无实根，
∴△=1-4b＜0，
∴b＞$\frac{1}{4}$，
②若C={2}或{3}，即方程bx²-x+1=0有两个相等的实根，
∴△=1-4b=0，
∴b=$\frac{1}{4}$，此时C={2}符合题意． 
③若C={2，3}，则$\frac{1}{b}$=2+3=5，$2×3=\frac{1}{b}$，不存在这样的b．
综上所述，a=2，b≥$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了集合的包含关系判断及应用．综合性强，具有一定的难度．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．