Question

9．已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）设a，b∈{y|y=f（x）}，试比较3|a+b|与|ab+9|的大小．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的性质，可得∴||x-2|-|x-5||≤=|x-2-（x-5）|=3，进而求出函数f（x）的值域；
（2）由a，b∈[-3，3]，可得-9≤ab≤9，即ab+9≥0，分a+b≥0时和a+b＜0时两种情况，分析|ab+9|-3|a+b|的符号，可得结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
∴||x-2|-|x-5||≤=|x-2-（x-5）|=3，
故-3≤|x-2|-|x-5|≤3，
即函数f（x）的值域为[-3，3]，
（2）∵a，b∈{y|y=f（x）}，
∴a，b∈[-3，3]，
则-9≤ab≤9，则ab+9≥0，|ab+9|=ab+9，
当a+b≥0时，|ab+9|-3|a+b|=ab+9-3a-3b=（a-3）（b-3）≥0，此时3|a+b|≤|ab+9|，
当a+b＜0时，|ab+9|-3|a+b|=ab+9+3a+3b=（a+3）（b+3）≥0，此时3|a+b|≤|ab+9|，
综上3|a+b|≤|ab+9|．

点评 本题考查的知识点是绝对值函数，作差法比较大小，是绝对值函数与不等式证明的综合应用，难度中档．