Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O₁，圆O₂均与x轴相切，且圆O₁，O₂都在射线y=mx（m＞0，x＞0）上．
（1）若O₁的坐标为（3，1），过直线x-y+2=0上的一点P作圆O₁的切线，切点分别为A，B两点，求PA长度的最小值；
（2）若圆O₁，圆O₂的半径之积为2，Q（2，2）是两圆的一个公共点，求两圆的另一条公切线的方程．

Answer 1

分析 （1）利用PA=$\sqrt{{O}_{1}{P}^{2}-1}$，可得O₁P取最小值时，PA有最小值，
（2）圆O₁，O₂的坐标可设为O₁（$\frac{{r}_{1}}{m}$，r₁），O₂（$\frac{{r}_{2}}{m}$，r₂），确定r₁、r₂是r²-4m（m+1）r₁+8m²=0的两个根，利用圆O₁，圆O₂的半径之积为2，求出m，即可求两圆的另一条公切线的方程．

解答 解：（1）由题意，圆O₁的半径r=1，所以PA=$\sqrt{{O}_{1}{P}^{2}-1}$，
所以O₁P取最小值时，PA有最小值，
O₁到直线x-y+2=0的距离d=$\frac{|3-1+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，所以O₁P最小值为2$\sqrt{2}$，
所以PA长度的最小值为$\sqrt{7}$；
（2）因为圆O₁，O₂都在射线y=mx（m＞0，x＞0）上，
所以圆O₁，O₂的坐标可设为O₁（$\frac{{r}_{1}}{m}$，r₁），O₂（$\frac{{r}_{2}}{m}$，r₂），
因为Q（2，2）是两圆的一个公共点，
所以（2-$\frac{{r}_{1}}{m}$）²+（2-r₁）²=r₁²，（2-$\frac{{r}_{2}}{m}$）²+（2-r₂）²=r₂²，
所以r₁²-4m（m+1）r₁+8m²=0，r₂²-4m（m+1）r₂+8m²=0，
所以r₁、r₂是r²-4m（m+1）r₁+8m²=0的两个根，
因为r₁r₂=8m²=2（m＞0），所以m=$\frac{1}{2}$，
因为两圆的另一条公切线的倾斜角是直线OO₁的倾斜角的两倍，
所以两圆的另一条公切线的斜率为$\frac{2m}{1-{m}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
所以两圆的另一条公切线的方程y=$\frac{4}{3}$x．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．